(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当=λ1=λ2,且λ1+λ2=-时,求Q点的坐标.
解:(Ⅰ)设双曲线方程为-=1.
由椭圆+=1求得两焦点为(-2,0),(2,0).
∴对于双曲线C:c=2,又y=x为双曲线C的一条渐近线,
∴= 解得a2=1,b2=3,∴双曲线C的方程为:x2-=1.
(Ⅱ)解法一:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.
设l的方程:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
则Q(-,0),
∵=λ1,
∴(-,-4)=λ1(x1+,y1).
∴
∵A(x1,y1)在双曲线C上,∴--1=0,
∴16+32λ1+16-k2-k2=0,
∴(16-k2)+32λ1+16-k2=0,
同理有:(16-k2)λ22+32λ2+16-k2=0,
若16-k2=0,则直线l过顶点,不合题意,∴16-k2≠0,
∴λ1、λ2是二次方程(16-k2)x2+32x+16-k2=0的两根,
∴λ1+λ2==-,∴k2=4,此时Δ>0,∴k=±2.
∴所求Q点坐标为(±2,0).
解法二:由题意知直线l的斜率k存在且不等于0,设l的方程为:
y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2,)则Q(-,0),∵=λ1,
∴Q分的比为λ1,由定比分点坐标公式得
下同解法一
解法三:由题意知直线l的斜率k存在且不等于0.
设l的方程:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q(-,0),∵=λ1=λ2,∴(-,-4)=λ1(x1+,y1)=λ2(x+,y2),
∴-4=λ1y1=λ2y2,λ1=-,λ2=-,又λ1+λ2=-,
∴=.
即3(y1+y2)=2y1y2.
将y=kx+4代入x2-=1得
(3-k2)y2-24y+48-3k2=0.
∵3-k2≠0,否则l与渐近线平行,
∴y1+y2=,y1y2=.
∴3×=2×.
∴k=±2.
∴Q(±2,0).
解法四:
由题意知直线l的斜率k存在且不等于零
设l的方程:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2,)则Q(-,0).
∵=λ1,
∴(-,-4)=λ1(x1+,y1).
∴λ1==-.
同理 λ2=-.
λ1+λ2=--=-.
即2k2x1x2+5k(x1+x2)+8=0. (*)
又
消去y得
(3-k2)x2-8kx-19=0.
当3-k2=0时,则直线l与双曲线的渐近线平行,不合题意,3-k2≠0.
由韦达定理有:
代入(*)式得k2=4,k=±2
∴所求Q点的坐标为(±2,0).
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x2 |
8 |
y2 |
4 |
| ||
3 |
MP |
MQ |
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(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当=λ1=λ2,且λ1+λ2=-时,求Q点的坐标.
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第20题图
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点p(0,4)的直线l交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当=λ1=λ2,且λ1+λ2=时,求Q点的坐标.
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