Question

函数f（x）=x²-2x，x∈[-1，m]图象上的最高点为A，最低点为B，A、B两点之间的距离是2

5

，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先将函数配方得f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，得到其对称轴，明确其单调性，分三种情况分析，①当m≤1时，函数在区间上是减函数，最高点为（-1，3），最低点为（m，m²-2m），顶点为（1，-1），先研究最高点与顶点间的距离②当m＞3时，最高点为（m，m²-2m），最低点为顶点（1，-1），一个动点与定点间的距离不定，③当1≤m≤3时最高点为（-1，3），最低点为顶点（1，-1）满足条件．

解答：解：∵函数f（x）=x²-2x=（x-1）²-1
①当m≤1时，函数在区间上是减函数
∴最高点为（-1，3），最低点为（m，m²-2m），顶点为（1，-1）
而最高点与顶点间的距离为2

5

该情况不成立
②当m＞3时，最高点为（m，m²-2m），最低点为顶点（1，-1）
此时，最高点与最低点间距离不确定
故该情况不成立
③当1≤m≤3时
最高点为（-1，3），最低点为顶点（1，-1）
故满足条件
综上：实数m的取值范围是1≤m≤3
故答案为：1≤m≤3

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，同时，还考查了分类讨论思想和运算能力，分析问题的能力，属中档题．