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已知函数f(x)=lg
x+1x-1

(Ⅰ)求f(x)的值域;
(Ⅱ)讨论f(x)的奇偶性.
分析:(Ⅰ)f(x)=lg
x+1
x-1
=lg
x-1+2
x-1
=lg(1+
2
x-1
)
,由
2
x-1
≠0
,对数函数的性质即可求得函数f(x)的值域;
(Ⅱ)先求得函数定义域,看是否关于原点对称,再研究f(-x)与f(x)的关系,根据函数奇偶性的定义即可得到结论.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=lg
x+1
x-1
=lg
x-1+2
x-1
=lg(1+
2
x-1
)

2
x-1
≠0
,∴f(x)≠lg1,即f(x)≠0.
∴函数f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(Ⅱ)由
x+1
x-1
>0
得x<-1,或x>1.
∴函数f(x)的定义域为{x|x<-1,或x>1},它关于原点对称.
f(-x)=lg
-x+1
-x-1
=lg
x-1
x+1

又∵f(x)+f(-x)=lg
x+1
x-1
+lg
x-1
x+1
=lg(
x+1
x-1
x-1
x+1
)=lg1=0

∴f(-x)=-f(x).
故函数f(x)是奇函数.
点评:本题考查函数奇偶性的判断及函数值域的求解,属中档题,定义是解决该类问题的基本方法.
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