Question

已知动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x=1的距离之比为2.

(1)求动点P的轨迹方程;

(2)设点P的轨迹为曲线C,过点F作互相垂直的两条直线l₁、l₂,l₁交曲线C于A、B两点，l₂交曲线C于M、N两点.求证:+为定值.

Answer 1

解:(1)设P(x,y),由题意,得=|x-1|.

化简,得x²-y²=2.

所以点P的轨迹方程为x²-y²=2.

(2)当直线l₁,l₂之一与x轴垂直，不防设l₁与x轴垂直，此时A(2,),B(2,-),

M(-,0),N(,0),

·=（0，）·（0，-）=-2，

·=（--2，0）·（-2，0）=2，

所以+=0.

当直线l₁,l₂都不与x轴垂直时，由题意设直线l₁为y=k(x-2),k≠0,

则l₂的方程为y=(x-2),

由得(1-k²)x²+4k²x-4k²-2=0.

因为l₁交双曲线C于A、B两点，

所以解得k≠±1.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则x₁+x₂=,x₁x₂=,y₁=k(x₁-2),y₂=k(x₂-2).

因为=(x₁-2,y₁),=(x₂-2,y₂),所以·=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂

=(1+k²)［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］=(1+k²)(+4)=.

同理可求得·,

所以=()=0,

即为定值0.