Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的不动点，
（1）设f（x）=x²-2，求函数f（x）的不动点；
（2）设f（x）=ax²+bx-b，若对任意实数b，函数f（x）都有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若奇函数f（x）（x∈R）存在K个不动点，求证：K为奇数．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²-2=x，能求出f（x）的不动点．
（2）由f（x）=ax²+bx-b，对任意实数b，都有两个相异的不动点，知方程ax²+bx-b=x恒有两个不同解，故ax²+（b-1）x-b=0恒有两个不同解，故△=（b-1）²+4ab＞0恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
（3）对于f（x）上任意不动点（x₀，x₀），有f（x₀）=x₀，由f（x）是奇函数，知f（-x₀）=-f（x₀）=-x₀，故（-x₀，-x₀）也是f（x）上的不动点，再由（0，0）是f（x）的不动点，知f（x）不动点的个数k必为奇数．

解答：解：（1）由f（x）=x²-2=x，得x=-1，或x=2．
∴f（x）的不动点是-1和2．
（2）因为f（x）=ax²+bx-b对任意实数b，都有两个相异的不动点，
即方程ax²+bx-b=x恒有两个不同解，
∴ax²+（b-1）x-b=0恒有两个不同解
∴△=（b-1）²+4ab＞0恒成立，
∴b²+（4a-2）b+1＞0恒成立，
∴（4a-2）²-4＜0，
解得0＜a＜1．
故实数a的取值范围是（0，1）．
（3）证明：∵奇函数f（x）（x∈R）存在K个不动点，
对于f（x）上任意不动点（x₀，x₀），有f（x₀）=x₀，
∵f（x）是奇函数，∴f（-x₀）=-f（x₀）=-x₀，
∴（-x₀，-x₀）也是f（x）上的不动点，
即：x₀≠0时，f（x）的不动点必成对出现
∵（0，0）是f（x）的不动点
所以，f（x）不动点的个数k必为奇数．

点评：本题考查函数的恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．