Question

【题目】如图，曲线c1：y2=2px（p＞0）与曲线c2：（x﹣6）2+y2=36只有三个公共点O，M，N，其中O为坐标原点，且 =0．
（1）求曲线c1的方程；
（2）过定点M（3，2）的直线l与曲线c1交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，求线段AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：由对称性知MN⊥x轴于点（6，0），且|MN|=12

所以M（6，6），

所以62=2p×6

所以p=3

所以曲线为y2=6x

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）

因为（3，2）是AB中点

所以x1+x2=6，y1+y2=4

则由点差法得k= =

所以直线l：3x﹣2y﹣5=0

由

所以由韦达定理

所以|AB|= =

【解析】（1）由对称性知MN⊥x轴于点（6，0），且|MN|=12，可得M的坐标，代入抛物线方程，即可求曲线c1的方程；（2）利用点差法求出直线AB的斜率，可得AB的方程，与抛物线方程联立，结合弦长公式，可求线段AB的长度．