Question

12．求经过点B（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）且与曲线y=cosx相切的直线方程．

Answer 1

分析 设出切点，求出函数的导数，求得切线的斜率，可得切线的方程，代入点B，解方程可得m，进而得到所求的切线的方程．

解答 解：设切点为（m，n），即有n=cosm，
由y=cosx的导数为y′=-sinx，
可得切线的斜率为k=-sinm，
切线的方程为y-cosm=-sinm（x-m），
代入点（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$），可得cosm-$\frac{π}{3}$sinm+msinm=$\frac{1}{2}$，
可令f（m）=cosm-$\frac{π}{3}$sinm+msinm，
f′（m）=-sinm-$\frac{π}{3}$cosm+sinm+mcosm=（m-$\frac{π}{3}$）•cosm，
当$\frac{π}{3}$＜m＜$\frac{π}{2}$时，f′（m）＞0，f（x）递增，
当0＜x＜$\frac{π}{3}$时，f′（m）＜0，f（x）递减．
可得f（x）在x=$\frac{π}{3}$处取得极小值，且为$\frac{1}{2}$，
故cosm-$\frac{π}{3}$sinm+msinm=$\frac{1}{2}$的解为m=$\frac{π}{3}$，
即有与曲线y=cosx相切的直线方程为y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{π}{3}$），即为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}π}{6}$+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意切点的求法，考查直线方程的运用，属于中档题．