Question

下列命题（i为虚数单位）中正确的是
①已知a，b∈R，则a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件；
②当z是非零实数时，|z+

1

z

|≥2恒成立；
③复数z=（1-i）³的实部和虚部都是-2；
④如果|a+2i|＜|-2+i|，则实数a的取值范围是-1＜a＜1；
⑤复数z=1-i，则

1

z

+z=

3

2

+

1

2

i
其中正确的命题的序号是

②③④

．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：根据复数的概念以及基本运算分别进行判断．

解答：解：①若（a-b）+（a+b）i为纯虚数，则a-b=0，且a+b≠0，即a=b≠0，∴a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的必要不充分条件，∴①错误．
②当z是非零实数时，由基本不等式可知，|z+

1

z

|=|z|+|

1

z

|≥2恒成立，∴②正确．
③z=（1-i）³=（1-i）²（1-i）=-2i（1-i）=-2-2i，∴实部和虚部都是-2，∴③正确．
④由|a+2i|＜|-2+i|，得

a2+4

＜

22+1

，即a²+4＜5，∴a²＜1，解得-1＜a＜1，∴④正确．
⑤若z=1-i，则

1

z

+z=1-i+

1

1-i

=1-i+

1+i

2

=

3

2

-

1

2

i，∴⑤错误．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查复数的有关概念和复数的四则运算，比较基础．