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如图,已知点P在圆柱OO1的底面圆O上,AB为圆O的直径,OA=2,∠AOP=120°,三棱锥A1-APB的体积为
8
3
3

(1)求圆柱OO1的表面积;
(2)求异面直线A1B与OP所成角的大小.  (结果用反三角函数值表示)
分析:(1)由题意可得AP=2
3
,BP=2,进而可得关于AA1的等式,可得AA1,代入表面积公式可得答案;
(2)取AA1中点Q,连接OQ,PQ,可得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角,由余弦定理可得cos∠POQ=
PO2+OQ2-PQ2
2PO•OQ
,代入数值可得答案.
解答:解:(1)由题意,在△AOP中,OA=OP=2,∠AOP=120°,所以AP=2
3
…(1分)
在△BOP中,OB=OP=2,∠BOP=60°,所以BP=2…(2分)
VA1-APB=
1
3
S△APB•AA1
=
1
3
1
2
•2
3
•2•AA1=
8
3
3
,解得AA1=4,…(4分)
S=2π•22+2π•2•4=24π.…(6分)
(2)取AA1中点Q,连接OQ,PQ,则OQ∥A1B,
得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角.…(8分)
AP=2
3
,AQ=AO=2,得OQ=2
2
,PQ=4,
由余弦定理得cos∠POQ=
PO2+OQ2-PQ2
2PO•OQ
=-
2
4
,…(10分)
得异面直线A1B与OP所成的角为arc cos
2
4
.…(12分)
点评:本题考查圆柱的表面积,以及异面直线所成的角,属中档题.
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精英家教网如图,已知点P在圆柱OO1的底面圆O上,AB、A1B1分别为圆O、圆O1的直径且A1A⊥平面PAB.
(1)求证:BP⊥A1P;
(2)若圆柱OO1的体积V=12π,OA=2,∠AOP=120°,求三棱锥A1-APB的体积.

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(1)求异面直线A1B与AP所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)
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(1)求三棱锥A1-APB的体积.
(2)求异面直线A1B与OP所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)

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精英家教网如图,已知点P在圆柱OO1的底面圆O上,AB、A1B1分别为圆O、O1的直径且A1A⊥平面PAB.
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(Ⅱ)在三棱锥A1-APB的6条棱中,任取2条棱,求恰好能互相垂直的概率.

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