Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，

a

=（S_n，1），

b

=(-1，2an+2n+1)，

a

⊥

b

．
（Ⅰ）求证：{

an

2n

}为等差数列；
（Ⅱ） 若bn=

n-2013

n+1

an，问是否存在n₀，对于任意k（k∈N^*），不等式bk≤bn0成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据

a

⊥

b

，利用向量的数量积公式，可得-Sn+2an+2n+1=0，再写一式，两式相减，整理可得{

an

2n

}是以-2为首项，-1为公差的等差数列；
（Ⅱ）确定数列的通项，令b_n+1≥b_n，即可知b_n的最大值，由此可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：∵

a

⊥

b

，

a

=（S_n，1），

b

=(-1，2an+2n+1)，
∴-Sn+2an+2n+1=0，
∴-Sn+1+2an+1+2n+2=0
两式相减，整理可得an+1=2an-2n+1，∴

an+1

2n+1

=

an

2n

-1，
又n=1时，-S1+2a1+21+1=0，∴a₁=-4，∴

a1

2

=-2
∴{

an

2n

}是以-2为首项，-1为公差的等差数列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

an

2n

=-2-(n-1)=-(n+1)，
∴bn=(2013-n)2n，
令b_n+1≥b_n，
∴（2012-n）2ⁿ⁺¹≥（2013-n）2ⁿ，
∴n≤2011
∴b_n的最大值为b2011=b2012=22012，
∴存在n₀=2011或2012，对于任意k（k∈N^*），不等式bk≤bn0成立．

点评：本题考查向量知识的运用，考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的恩了，属于中档题．