Question

如图，对于函数f（x）=x²（x＞0）的图象上不同两点A（a，a²）、B（b，b²），直线段AB
必在弧线段AB的上方，设点C分

AB

的比为λ（λ＞0），则由图象中点C在点C'上方可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2．请分析函数y=lnx（x＞0）的图象，类比上述不等式，可以得到的不等式是

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）=x²（x＞0）的图象可知，此函数的图象是向下凹的，即可得到不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2，再根据对数函数的图象的特征，即可类比得到相应的不等式．

解答：解：∵函数f（x）=x²（x＞0）上任意两点A（a，a²）、B（b，b²），线段AB在弧线段AB的上方，
设点C分

AB

的比为λ（λ＞0），则由图象中点C在点C'上方可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2．
据此我们从图象可以看出：
函数f（x）=x²（x＞0）的图象是向下凹的，
类比对数函数可知，对数函数的图象是向上凸的，
分析函数y=lnx（x＞0）的图象，类比上述不等式，可以得到的不等式是

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．
故答案为：

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．

点评：本题主要考查类比推理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性，本题比较简单．