Question

．（本小题满分12分）如图，在正方体中，
、分别为棱、的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面⊥平面；
（3）如果，一个动点从点出发在正方体的
表面上依次经过棱、、、、上的点，最终又回到点，指出整个路线长度的最小值并说明理由.

Answer 1

（1）证明:连结.

在正方体中，对角线.
又 E、F为棱AD、AB的中点，
.
.                                                      …………2分
又B₁D₁平面，平面，
  EF∥平面CB₁D₁.                                                …………4分
（2）证明: 在正方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，
 AA₁⊥B₁D₁.
又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.                  …………6分
又 B₁D₁平面CB₁D₁，
平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．             …………8分
（3）最小值为 .                    …………9分
如图，将正方体六个面展开成平面图形，                             …………10分
从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的中点，所求的最小值为 .                                            …………12分.

略