Question

给出下列四个命题：
①“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
②若a＜-2，则函数f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点；
③函数y=2

2

sinxcosx在[-

π

4

，

π

4

]上是单调递减函数；
④若lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为4．
其中真命题的序号是

②④

．（请把所有真命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：①先求出命题的逆命题，再利用特殊值法取m=0，进行判断；
②f（x）为一次函数，令f（x）=0，求出零点，利用a＜-2进行判断；
③利用倍角公式对其进行化简，y=2

2

sinxcosx，再利用三角函数的性质进行判断；
④lga+lgb=lg（a+b），因为lga+lgb=lgab=lg（a+b），可以推出ab=a+b，利用均值不等式进行判断；

解答：解：①“若am²＜bm²，则a＜b”其逆命题为：若a＜b，am²＜bm²，
取m=0，若a＜b，可得am²=bm²=0，故①错误；
②函数f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点，令f（x）=0，可得x=

-3

a

，因为a＜-2，
f（0）=3＞0，f（2）=2a+3＜2×（-2）+3=-1，
∴f（0）f（2）＜0，说明f（x）在[0，2]上有零点，函数f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点；
故②正确；
③函数y=2

2

sinxcosx=

2

sin2x，y的增区间：-

π

2

+2kπ≤2x≤

1

2

π+2kπ，k∈Z，可得-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，k∈Z，
可以取k=0，可得f（x）的增区间：[-

π

4

，

π

4

]，
∴函数y=2

2

sinxcosx在[-

π

4

，

π

4

]上是单调递增函数
故③错误；
④lga+lgb=lg（a+b）=lg（ab），可得ab=a+b≥2

ab

，可得

ab

≥2，
∴a+b≥2

ab

≥2×2=4（a=b=2等号成立），
∴a+b的最小值为4，故④正确；
故答案为：②④；

点评：此题主要考查函数的零点定理的应用，三角函数的单调性以及均值不等式的应用，是一道综合题；