Question

若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的半径为 ________，体积为 ________．

Answer 1

3    36π
分析：画出几何图形，设出球的半径，通过正四面体的高，求出球的半径，然后求出球的体积．
解答：解：正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接于球
设正方体为ABCD-A₁B₁C₁D₁则正四面体为ACB₁D₁
设球半径为R，则AC=2R
设底面ACB₁中心为O则AO=2R
OD₁=2R 即R=4
解得R=3
V=R³=36π
故答案为：3；36π．
点评：本题考查球的体积，正四面体与正方体的关系，在几何解题中，往往相互联系，本题中采用转化思想，把正四面体的高，棱长与正方体的棱长，外接球的直径相结合，注意挖掘题设中的隐含条件．是解题成功的关键．