Question

【题目】已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．
（1）求f（1），判定并证明f（x）的单调性；
（2）若f（2）=1，解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．

f（x）在（0，+∞）上的是增函数，

设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则 ＞1，

∴f（ ）＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2 ）﹣f（x2）=f（ ）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数

（2）解：∵f（2）=1，∴f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2，

可化为f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2f（2）．

∴f（﹣x）+f（2）+f（3﹣x）+f（2）≥0，

∴f（﹣2x）+f（6﹣2x）≥f（1），

∴f[﹣2x（6﹣2x）]≥f（1），

∴ ，

∴x≤ ．

∴不等式的解集为{x|x≤ }

【解析】（1）利用赋值法进行求f（1）的值； 根据函数的单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．（2）根据函数单调性的性质解不等式即可．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．