Question

【题目】已知函数fk（x）=ax+ka﹣x ， （k∈Z，a＞0且a≠1）． （Ⅰ）若f1（1）=3，求f1（ ）的值；
（Ⅱ）若fk（x）为定义在R上的奇函数，且a＞1，是否存在实数λ，使得fk（cos2x）+fk（2λsinx﹣5）＜0对任意x∈[0， ]恒成立，若存在，请求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若f1（1）=3，

则a+a﹣1=（ ）2﹣2=3，

∴（ ）2=5，

∴ = ，或 =﹣ （舍去），

则f1（ ）= = ，

（Ⅱ）若fk（x）为定义在R上的奇函数，

则fk（0）=a+ka=0，

解得：k=﹣1，

∵a＞1，

∴fk（x）=ax﹣a﹣x在R上为增函数，

则fk（cos2x）+fk（2λsinx﹣5）＜0可化为：fk（cos2x）＜﹣fk（2λsinx﹣5）=fk（5﹣2λsinx），

即cos2x＜5﹣2λsinx对任意x∈[0， ]恒成立，

即λ＜ = =sinx+ 对任意x∈[0， ]恒成立，

令t=sinx，（t∈[0，1]），

则y=t+ 为减函数，当t=1时，y取最小值3，

故λ＜3．

【解析】（Ⅰ）若f1（1）=3，则a+a﹣1=3，结合a+a﹣1=（ ）2﹣2可得答案；（Ⅱ）若fk（x）为定义在R上的奇函数，且a＞1，则k=﹣1，fk（x）=ax﹣a﹣x在R上为增函数，故问题可转化为：λ＜ = =sinx+ 对任意x∈[0， ]恒成立，结合对勾函数的图象和性质，可得答案．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质和函数的值的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能正确解答此题．