Question

设S_n是正项数列{a_n的前n项和，且Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等比数列{b_n}，使 a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2 对一切正整数n都成立？并证明你的结论．
（3）设

Cn

=

1

1+an

(n∈N*)，且数列{C_n}的前n项和为T_n，试比较与

1

6

的大小．

Answer 1

分析：（1）本题已知数列前n项和的表达式，求通项通常用a_n=S_n-S_n-1，求通项，再验证n=1时，是否适合所求的通式，若符合就写成统一式，否则，写成分段的形式；
（2）假设存在这样的等比数列{b_n}，使 a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2 对一切正整数n都成立，故可先研究前两项，找出规律，提出猜想，再进行证明得出结论；
（3）由（1），将a_n=2n+1代入，求出C_n的表达式，再所其形式求出列{C_n}的前n项和为T_n，由和的形式与

1

6

的比较即可得到它们的大小关系．

解答：解：（1）由S_n=

1

4

an2+

1

2

a_n-

3

4

  得S_n+1=

1

4

an+12+

1

2

an+1-

3

4

，
  相减并整理得 （a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
  又由于a_n+1+a_n＞0，则a_n+1=a_n+2，故{a_n}是等差数列．
∵a1=S1=

1

4

a12+

1

2

a₁²-

3

4

＞0，所以a₁=3
    故a_n=2n+1                                …4分
（2）当n=1，2时，a₁b₁=2²（2×1-1）+2=6，
a₁b₁+a₂b₂=2³（2×2-1）+2=26，可解得b₁=2，b₂=4，猜想b_n=2ⁿ，使a₁b₁+a₂b₂+…
+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2成立．
证明：3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）2ⁿ=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2恒成立．
令S=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）2ⁿ   ①
2S=3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹ ②
②-①得：S=（2n+1）2ⁿ⁺¹-2•2ⁿ⁺¹+2=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2，
故存在等比数列{b_n}符合题意…8分
（3）C_n=

1

(2n+2)2

＜

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

）
则T_n=c₁+c₂+…+c_n＜

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）＜

1

6

故Tn＜

1

6

…12分

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查了数列递推式的应用，错位相减法求和的技巧放缩法证明不等式，解题的关键是熟练掌握错位相减法的技巧，放缩法的技巧，本题中第二问先研究前两项得出规律，提出猜想，再进行证明是研究规律不明显的问题时常用的思路，第三问中用到了放大的技巧，要注意不要放得过大，放缩法证明不等式技巧性很强，需要有有较高的观察能力与判断能力，既要放，又不能放得过了头，谨记