Question

已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l₁垂直于x轴，动点P在l₁上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l₂是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l₂的距离最短时，求直线l₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设P点坐标，进而得出Q点坐标，再根据OP⊥OQ⇒k_OP•k_OQ=-1，求出曲线方程；
（2）设出直线直线l₂的方程，然后与曲线方程联立，由于直线l₂与曲线C相切，得出二次函数有两个相等实根，求出，再由点到直线距离公式表示出d，根据a+b≥2，求得b的值，即可得到直线方程．
解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，-2）．
∵OP⊥OQ，∴k_OP•k_OQ=-1．
当x≠0时，得，化简得x²=2y．（2分）
当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．
∴曲线C的方程为x²=2y（x≠0）．（4分）
（2）∵直线l₂与曲线C相切，∴直线l₂的斜率存在．
设直线l₂的方程为y=kx+b，（5分）
由得x²-2kx-2b=0．
∵直线l₂与曲线C相切，
∴△=4k²+8b=0，即．（6分）
点（0，2）到直线l₂的距离=（7分）=（8分）（9分）=．（10分）
当且仅当，即时，等号成立．此时b=-1．（12分）
∴直线l₂的方程为或．（14分）
点评：本题考查了抛物线和直线的方程以及二次函数的根的个数，对于（2）问关键是利用了a+b≥2，求出b的值．属于中档题．