Question

定义F(x,y)=(1+x)^y,x,y∈(0,+∞).令函数f(x)=F(1,log₂(x²-4x+9))的图象为曲线C₁,曲线C₁与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C₁作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C₁在点A,B之间的曲线段与线段OA,OB所围成图形的面积为S,求S的值.

Answer 1

9

因为F(x,y)=(1+x)^y,所以f(x)=F(1,log₂(x²-4x+9))==x²-4x+9,故A(0,9),又过坐标原点O向曲线C₁作切线,切点为B(n,t)(n>0),f'(x)=2x-4.
所以解得B(3,6),
所以S=(x²-4x+9-2x)dx
=(-3x²+9x)=9.