Question

13．已知函数f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2013}}{2013}$，g（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2013}}{2013}$，设F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 9
• D． 12

Answer 1

分析 确定f（x+3）在（-4，-3）上有唯一零点，g（x-3）在（4，5）上有唯一零点．函数F（x）=f（x+3）•g（x-4），F（x）的零点即为f（x+3）和g（x-3）的零点．F（x）的零点区间为（-4，-3）∪（4，5），即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2013}}{2013}$，∴f′（x）=（1-x）+（x²-x³）+…+x²⁰¹²
=（1-x）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹⁰）+x²⁰¹²
当x=-1时，f′（x）=2×1006+1=2013＞0，
当x≠-1时，f′（x）=（1-x）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹⁰）+x²⁰¹²
=（1-x）•$\frac{1-（{x}^{2}）^{2016}}{1-{x}^{2}}$+x²⁰¹²
=$\frac{1+{x}^{2013}}{1+x}$＞0，
∴f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2013}}{2013}$在R上单调递增；
又f（0）=1，f（-1）＜0，
∴f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2013}}{2013}$在（-1，0）上有唯一零点，
由-1＜x+3＜0得：-4＜x＜-3，
∴f（x+3）在（-4，-3）上有唯一零点．
∵g（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2013}}{2013}$，
∴g′（x）=（-1+x）+（-x²+x³）+…-x²⁰¹²
=-[（1-x）+（x²-x³）+…+x²⁰¹²]
=-f′（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减；
又g（1）＞0，
n≥2时，g（2）＜0．
∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，
由1＜x-3＜2得：4＜x＜5，
∴g（x-3）在（4，5）上有唯一零点．
∵函数F（x）=f（x+3）•g（x-4），
∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x-3）的零点．
∴F（x）的零点区间为（-4，-3）∪（4，5）．
又b，a∈Z，
∴（b-a）_min=5-（-4）=9．
故选C．

点评 本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，确定零点所在区间是关键．