Question

5．已知函数f（x）=lnx，g（x）=kx-k，k∈R．
（1）讨论函数f（x）的图象与函数g（x）的图象交点的个数；
（2）若f（x）≤g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，令F（x）=f（x）-g（x），对于任意的a＞0，证明：F（a+1）-F（a）＜$\frac{1}{a（1+a）}$．

Answer 1

分析 （1）令h（x）=f（x）-g（x）=lnx-kx+k，求出导数，对k讨论，求得单调区间，极值和最值，结合零点的定义，即可得到交点个数；
（2）运用作差法，结合（1）的结论和x＞0，lnx≤x-1，即可得证．

解答 解：（1）令h（x）=f（x）-g（x）=lnx-kx+k，h′（x）=$\frac{1}{x}$-k，（x＞0），
当k≤0时，h′（x）＞0，h（x）在x＞0递增，由h（1）=0，
可得h（x）在（0，+∞）有1个零点；
当k＞0时，当0＜x＜$\frac{1}{k}$时，h′（x）＞0，h（x）递增，当x＞$\frac{1}{k}$时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有h（x）_max=h（$\frac{1}{k}$）=-lnk-1+k，
令m（x）=-lnx-1+x，m′（x）=-$\frac{1}{x}$+1，
0＜x＜1时，m（x）递减，x＞1时，m（x）递增，m（x）_min=m（1）=0，
即h（x）_max=h（$\frac{1}{k}$）≥0，当k=1时，h（x）_max=0，h（x）有1个零点；
当k≠1，h（x）_max＞0，h（x）有2个零点；
综上可得当k≤0或k=1时，函数f（x）的图象与函数g（x）的图象交点有1个，
当k＞0且k≠1时，函数f（x）的图象与函数g（x）的图象交点有2个；
（2）证明：由（1）知k≤0，f（x）≤g（x）在（0，+∞）不恒成立；
当k＞0时，h（x）_max=-lnk-1+k，
由（1）知，h（x）_max=-lnk-1+k≥0不恒成立，-lnk-1+k=0时，k=1，
F（x）=lnx-x+1，且x＞0，lnx≤x-1，
由F（a+1）-F（a）=ln$\frac{a+1}{a}$-1≤$\frac{a+1}{a}$-2=$\frac{1-a}{a}$，
当a≥1时，$\frac{1-a}{a}$≤0＜$\frac{1}{a（1+a）}$，
当0＜a＜1时，1-a²＜1，即$\frac{1-a}{a}$＜$\frac{1}{a（1+a）}$，
所以F（a+1）-F（a）＜$\frac{1}{a（1+a）}$．

点评 本题考查函数和方程的转化思想，考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．