【题目】函数 ,其中 .
(1)试讨论函数 的单调性;
(2)已知当 (其中 是自然对数的底数)时,在 上至少存在一点 ,使 成立,求 的取值范围;
(3)求证:当 时,对任意 ,,有 .
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析
【解析】分析:(1)求导数后根据的取值范围判断出导函数在上的符号可得函数的单调性.(2)将问题转化为“当时,”处理,由(1)可得,由,即为所求的范围.(3)当时,.令,可得在上为减函数.故对任意,都有成立,由此可得成立.
详解:(1)易知的定义域为.
由题意得.
令 得 或 .
∵ ,
∴ .
①当时,
则当单调递增,
当单调递减,
当单调递增.
②当时,
则当单调递增;
当单调递减;
当单调递增.
③当时,则当单调递增.
综上,当时,在和上单调递减;
当时,在和上单调递减;
当时,在上单调递增.
(2)在上至少存在一点,使成立,
等价于当时,.
∵ ,
∴ .
由(1)知,当时,单调递增;当时,单调递减.
∴ 当时,.
由 .
经检验知上式满足.
∴所以 的取值范围是.
(3)当时,函数.
令,
则.
∴当时,,为减函数.
∴ 对任意,都有成立,
即.
即.
又,
∴ .
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【题目】2016年汕头市开展了一场创文行动一直以来,汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重,为了解决这一老大难问题,汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗,目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象,同时争夺2020年“全国文明城市”称号随着创文活动的进行,我区生活环境得到了很大的改善,但因为违法出行的三轮车减少,市民出行偶有不便有一商人从中看到商机,打算开一家汽车租赁公司,他委托一家调查公司进行市场调查,调查公司的调查结果如表:
每辆车月租金定价元 | 3000 | 3050 | 3100 | 3150 | 3200 | 3250 | |
能出租的车辆数辆 | 100 | 99 | 98 | 97 | 96 | 95 |
若他打算购入汽车100辆用于租赁业务,通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元由上表,他决定每辆车月租金定价满足:
为方便预测,月租金定价必须为50的整数倍;不低于3000元;定价必须使得公司每月至少能租10辆汽车设租赁公司每辆车月租金定价为x元时,每月能出租的汽车数量为y辆.
(1)按调查数据,请将y表示为关于x的函数.
(2)当x何值时,租赁公司月收益最大?最大月收益是多少?
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【题目】已知命题p:“x∈[0,1],a≥ex”;命题q:“x0∈R,x +4x0+a=0”.若命题“p∧q”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,4]
B.(﹣∞,1)∪(4,+∞)
C.(﹣∞,e)∪(4,+∞)
D.(1,+∞)
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【题目】已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,有f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围.
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【题目】学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“或作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“, 两项作品未获得一等奖”;
丁说:“作品获得一等奖”.
若这四位同学只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是( )
A. B. C. D.
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【题目】[2019·潍坊期末]某钢铁加工厂新生产一批钢管,为了了解这批产品的质量状况,检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测,将它们的内径尺寸作为质量指标值,由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图:
分组 | 频数 | 频率 |
25.05~25.15 | 2 | 0.02 |
25.15~25.25 | ||
25.25~25.35 | 18 | |
25.35~25.45 | ||
25.45~25.55 | ||
25.55~25.65 | 10 | 0.1 |
25.65~25.75 | 3 | 0.03 |
合计 | 100 | 1 |
(1)求,;
(2)根据质量标准规定:钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格,钢管尺寸在或为合格等级,钢管尺寸在为优秀等级,钢管的检测费用为0.5元/根.
(i)若从和的5件样品中随机抽取2根,求至少有一根钢管为合格的概率;
(ii)若这批钢管共有2000根,把样本的频率作为这批钢管的频率,有两种销售方案:
①对该批剩余钢管不再进行检测,所有钢管均以45元/根售出;
②对该批剩余钢管一一进行检测,不合格产品不销售,合格等级的钢管50元/根,优等钢管60元/根.
请你为该企业选择最好的销售方案,并说明理由.
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【题目】给出下列命题:
①正切函数图象的对称中心是唯一的;
②若函数的图像关于直线对称,则这样的函数是不唯一的;
③若,是第一象限角,且,则;
④若是定义在上的奇函数,它的最小正周期是,则.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】关于函数,有下列说法:
①它的极大值点为-3,极小值点为3;②它的单调递减区间为[-2,2];
③方程有且仅有3个实根时,的取值范围是(18,54).
其中正确的说法有( )个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据.
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请画出上表数据的散点图,并说明其相关关系;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数.
(相关公式:)
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