Question

9．{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，若a₂=b₂＞0，a₄=b₄＞0，a₂≠a₄，b₁＞0，则（　　）

• A． a₁＜b₁，a₃＜b₃
• B． a₁＜b₁，a₃＞b₃
• C． a₁＜b₁，a₅＞b₅
• D． a₁＜b₁，a₅＜b₅

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，a_n=a₂+（n-2）d，b_n=${a}_{2}{q}^{n-2}$．由a₄=b₄＞0，b₁＞0，则a₂+2d=${a}_{2}{q}^{2}$，解得d=$\frac{{a}_{2}（{q}^{2}-1）}{2}$，对d，q分类讨论即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，a_n=a₂+（n-2）d，b_n=${a}_{2}{q}^{n-2}$．
∵a₄=b₄＞0，b₁＞0，则a₂+2d=${a}_{2}{q}^{2}$，解得d=$\frac{{a}_{2}（{q}^{2}-1）}{2}$，d＞0时，q＞1．
由q＞1，可得：b_n-b_n-1＜b_n+1-b_n（左边=b_n-1（q-1），右边=b_n-1×q（q-1）
∴b₁＞a₁，b₃＜a₃，b_n＞a_n（n＞4）．
∵a₂≠a₄，∴a₁+d≠a₁+3d，即d≠0．
若d＜0，则0＜q＜1，b_n-b_n-1＞b_n+1-b_n，∴a₁＜b₁，a₃＞b₃，a_n＜b_n（n＞4）．
∴无论d正负都有a₁＜b₁，a₃＞b₃，a_n＜b_n（n＞4）．
a₂-a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{4}-{a}_{2}）$=$\frac{1}{2}（{b}_{4}-{b}_{3}+{b}_{3}-{b}_{2}）$＞$\frac{1}{2}（2×（{b}_{2}-{b}_{1}））$=b₂-b₁．∴a₁＜b₁，
同样可得：a₃＞b₃．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．