Question

17、例1．a、b、c≥0，求证a³+b³+c³≥3abc．

Answer 1

分析：先将不等式的左侧分解为三个立方和的形式，根据立方和公式展开，第一次使用基本不等式x²+y²≥2xy，再将三个式子相加，合理分组后，第二次使用基本不等式x²+y²≥2xy，化简整理后，即可得到要证的结论．

解答：证明：∵a³+b³=（a+b）（a²+b²-ab）≥（a+b）ab （当且仅当a=b时“=”成立）
b³+c³=（b+c）（b²+c²-bc）≥（b+c）bc （当且仅当b=c时“=”成立）
c³+a³=（a+c）（c²+a²-ca）≥（c+a）ca （当且仅当c=a时“=”成立）
∴2（a³+b³+c³）≥a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²
=b（a²+c²）+a（b²+c²）+c（a²+b²）
≥2abc+2abc+2abc=6abc．（当且仅当a=b=c时“=”成立）
∴a³+b³+c³≥3abc．

点评：本题两次使用了基本不等式x²+y²≥2xy（当且仅当x=y时“=”成立），要特别注意等号成立的条件．