Question

各项均为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a

2 n+1

-a

2 n

=2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

an2

2n

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）先确定数列{a

2 n

}是首项为1，公差为2的等差数列，进而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，即可求数列{

an2

2n

}的前n项和S_n．

解答：解：（1）因为a

2 n+1

-a

2 n

=2，
所以数列{a

2 n

}是首项为1，公差为2的等差数列．
所以a

2 n

=1+2（n-1）=2n-1．
因为a_n＞0，所以a_n=

2n-1

．
（2）由（1）知，a_n=

2n-1

，所以

an2

2n

=

2n-1

2n

．
所以，S_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

    ①
则

1

2

S_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，②
①-②得，

1

2

S_n=

1

2

+

2

22

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+2（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

．
所以S_n=3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，正确运用错位相减法是关键．