Question

设a为实数，f（x）=-x³+3x+a．
（1）求f（x）的极值；
（2）当a为何值时，f（x）=0恰有两个实根．

Answer 1

【答案】分析：（1）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可；
（2）根据第一问可知，只需极大值或极小值为零可使f（x）=0恰有两个实根．
解答：解：（1）令．f′（x）=-3x²+3=0得x=±1，
当x＜-1时，f′（x）＜0
当-1＜x＜1时，f′（x）＞0
当x＞1时，f′（x）＜0
f_极小=f（-1）=a-2，f_极大=f（1）=a+2；
（2）f（x）=0恰有两个实根，
当极大值或极小值为零f（x）=0恰有两个实根，
时则a=2或a=-2．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及三次方程的实数根问题，属于基础题．