Question

有下列五种说法：
①函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于y轴对称；
②函数y=(

1

2

)x2+2x的值域是[2，+∞）；
③若函数f（x）=log₂|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）＞f（a+1）；
④若f（x）=

(3a-1)x+4a，(x＜1) logax，(x≥1)

是（-∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是（0，

1

3

）；
⑤设方程 2^-x=|lgx|的两个根为x₁，x₂，则  0＜x₁x₂＜1．
其中正确说法的序号是

⑤

．

Answer 1

分析：命题①利用函数的对称变换和平移变换进行分析；
命题②利用复合函数，先求出指数的范围，再求复合函数的值域；
命题③先利用复合函数的单调性求出a的范围，然后利用函数是偶函数把f（-2）转化为f（2）比较大小；
命题④是分段函数，保证函数在每一段上都是减函数，且第一段的最小值要大于等于第二段的最大值；
命题⑤通过画图分析知一个根小于1，一个根大于1，把两个根代入方程后取绝对值相加，整理后可得0＜x₁x₂＜1．

解答：解：由f（-x+2）=f[-（x-2）]，所以函数y=f（-x+2）的图象是把函数y=f（-x）的图象向右平移2个单位得到的，
y=f（x-2）的图象是把y=f（x）的图象向右平移2个单位得到的，而y=f（x）与y=f（-x）的图象关于y轴轴对称，
所以，函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称．所以，命题①错误；
令x²+2x=t，则函数函数y=(

1

2

)x2+2x化为y=(

1

2

)t，又t=x²+2x=（x+1）²-1≥-1，
0＜(

1

2

)t≤2，即函数y=(

1

2

)x2+2x的值域是（0，2]．所以命题②错误；
函数f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，因为t=|x|在（0，+∞）上单调递增，所以，
函数y=log_at也在（0，+∞）上单调递增，则a＞1，a+1＞2．又因为函数f（x）=log₂|x|是偶函数，
所以f（-2）=f（2），则f（-2）=f（2）＜f（a+1）．所以，命题③错误；
由f（x）=

(3a-1)x+4a，(x＜1) logax，(x≥1)

是（-∞，+∞）上的减函数，则

3a-1＜0 0＜a＜1 (3a-1)+4a≥loga1

，
解得：

1

7

≤a＜

1

3

．所以，命题④错误；
令y1=2-x，y₂=|lgx|，
在平面直角坐标系中作出这两个函数的图象如图，
不妨设A点的横坐标为x₁，B点的横坐标为x₂，则x₁＜1＜x₂，
由

1

2x1

=|lgx1|=-lgx1，得lgx1=-

1

2x1

，
lgx2=|lgx2|=

1

2x2

，得：lgx1x2=lgx1+lgx2=

1

2x2

-

1

2x1

=

2x1-2x2

2x12x2

＜0．
所以，0＜x₁x₂＜1．所以，命题⑤正确．
故答案为⑤．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，综合考查了函数图象的平移和对称变换，复合函数的值域以及函数的单调性等特性，考查了方程的根和函数零点的关系，此题是中档题．