Question

设数列{a_n}是一个无穷数列，记Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差数列，证明：对于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）对任意的n∈N^*，若T_n=0，证明：{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析：（1）利用递推式，再写一式，两式相减，根据{a_n}是等差数列，即可得到结论；
（2）写出Tn+1=

n+3

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+3an+2=0，两式相减，即可证得结论．

解答：证明：（1）∵Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1
∴2Tn=2

n+2

i=1

2i-1ai+4a1-2a3-2n+3an+1
两式相减可得-Tn=a3-a1+

n+1

i=1

2i(ai+1-ai)+2n+2(an+1-an+2)
∵{a_n}是等差数列，设其公差为d
∴-Tn=2d+d

n+1

i=1

2i+2n+2d=0，∴对于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）∵Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1=0
∴Tn+1=

n+3

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+3an+2=0
两式相减可得a_n+1-2a_n+2+a_n+3=0
∵T1=

1+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-21+2a2=0
∴a₁-2a₂+a₃=0
∴a_n+1-2a_n+a_n-1=0
∴{a_n}是等差数列．

点评：本题主要考查数列的递推式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．