Question

【题目】已知向量 =（cosx+sinx，1）， =（cosx+sinx，﹣1）函数g（x）=4 ．
（1）求函数g（x）在[ ， ]上的值域；
（2）若x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数；
（3）求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使g（x）+x﹣4＜0对x∈（﹣∞，λμ）恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 =（cosx+sinx，1）， =（cosx+sinx，﹣1），

∴函数g（x）=4 =4sin2x．

∵x∈[ ， ]，

∴2x∈[ ， ]，

∴sin2x∈[ ，1]，

∴g（x）∈[2，4]；

（2）解：g（x）=0，可得x= ，k∈Z，

∵x∈[0，2016π]，∴ ∈[0，2016π]，∴k∈[0，4032]，

∴k的值有4033个，即x有4033个；

（3）证明：不等式g（x）+x﹣4＜0，即 g（x）＜4﹣x，

故函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．

显然，当x≤0时，函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．

当x∈（0， ]时，g（x）单调递增，g（ ）=2，显然g（ ）＜4﹣ ，

即函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．

综上可得，当x≤ 时，函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．

对任意λ＞0，一定存在μ= ＞0，使λμ= ，满足函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．

【解析】（1）求出函数解析式，即可求函数g（x）在[ ， ]上的值域；（2）g（x）=0，可得x= ，k∈Z，利用x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数；（3）分类讨论，可得当x≤ 时，函数f（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方，由此证得结论成立．