Question

14．P（1，1）是椭圆$\frac{x^2}{3}$+$\frac{y^2}{2}$=1内一点，过P的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）若P是AB的中点，求直线l的方程；
（2）若以AB为直径的圆经过原点，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用“点差法”可求得直线AB的斜率，再利用点斜式即可求得直线l的方程；
（2）当直线的斜率不存在时易知$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≠0，不合题意；当直线的斜率存在时设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），并设直线AB的方程为y-1=k（x-1），代入椭圆方程、利用韦达定理可知可得x₁+x₂=-$\frac{6k（1-k）}{2+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3（-k+1）^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，利用以AB为直径的圆经过原点可知|AB|²=|OA|²+|OB|²，代入化简可知k²+10k+1=0，进而计算可得结论．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵P（1，1）是线段AB的中点，
则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
依题意，将点 A、B代入椭圆方程，
作差得：$\frac{1}{3}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）（y₂-y₁），
由题意知，直线l的斜率存在，
∴k_AB=-$\frac{2}{3}$，
∴直线l的方程为：y-1=-$\frac{2}{3}$（x-1），
整理得：2x+3y-5=0．
故直线l的方程为2x+3y-5=0；
（2）若直线的斜率不存在，则直线AB的方程为x=1，
∴直线AB交椭圆于（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（1，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）两点，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1-$\frac{4}{3}$≠0，不合题意；
若直线的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为y-1=k（x-1），
代入椭圆方程可得（2+3k²）x²+6k（-k+1）x+3（-k+1）²-6=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{6k（1-k）}{2+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3（-k+1）^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，
∵以AB为直径的圆经过原点，
∴|AB|²=|OA|²+|OB|²，
即$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}$=（${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$）+（${{x}_{2}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$），
整理得：x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（k²+1）x₁x₂-k（k-1）（x₁+x₂）+（k-1）²=0，
即$\frac{3（-k+1）^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$•（k²+1）+（k-1）²=-k（k-1）$\frac{6k（1-k）}{2+3{k}^{2}}$，
化简得：k²+10k+1=0，
解答：k=-5±2$\sqrt{6}$，
∴直线l的方程为：y=（-5-2$\sqrt{6}$）（x-1）+1，即y=（-5-2$\sqrt{6}$）x+6+2$\sqrt{6}$，
或y=（-5+2$\sqrt{6}$）（x-1）+1，即y=（-5+2$\sqrt{6}$）x+6-2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质与直线的点斜式方程，求直线l的斜率是关键、也是难点，着重考查点差法，注意解题方法的积累，属于中档题．