【题目】已知函数f(x)=sin2xcos2x+sin22x﹣ .
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称中心;
(2)在△ABC中,角B为钝角,角A,B,C的对边分别为a、b、c,f( )= ,且sinC= sinA,S△ABC=4,求c的值.
【答案】
(1)解:函数f(x)=sin2xcos2x+sin22x﹣ = = ,
所以函数f(x)的最小正周期为 .
由 ,解得 ,
所以函数f(x)的图象的对称中心为
(2)解:由(Ⅰ)知f(x)= ,
∵f( )= ,所以 ,∴ .
∵ <B<π,∴ .
∵sinC= sinA,∴c=2a.
∵ , ,∴c=4
【解析】(1)利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,得出结论.(2)由题意求得 ,结合 <B<π,∴求得 .利用正弦定理求得c=2a,再利用S△ABC=4,求得c的值.
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义,掌握正弦定理:即可以解答此题.
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【题目】如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)证明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B﹣PC﹣A的正切值.
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【题目】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF= , 则下列结论中错误的个数是( )
(1) AC⊥BE.
(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为.
(3) 三棱锥A-BEF的体积为定值.
(4) 在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.
(5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条.
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.
(1)求证:EF⊥BC;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.
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【题目】双曲线x2﹣ =1(b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 直线l过F2且与双曲线交于A,B两点.
(1)直线l的倾斜角为 ,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设b= ,若l的斜率存在,且( + ) =0,求l的斜率.
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【题目】下列说法正确的是
A. 命题“”的否定是:“”
B. 命题“若,则”的否命题为“若,则”
C. 若命题为真,为假,则为假命题
D. “任意实数大于”不是命题
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【题目】已知函数f(x)=2x+a2﹣x , 其中常数a≠0.
(1)当a=1时,f(x)的最小值;
(2)当a=256时,是否存在实数k∈(1,2],使得不等式f(k﹣cosx)≥f(k2﹣cos2x)对任意x∈R恒成立?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=sinx﹣xcosx.
(1)讨论f(x)在(0,2π)上的单调性;
(2)若关于x的方程f(x)﹣x2+2πx﹣m=0在(0,2π)有两个根,求实数m的取值范围.
(3)求证:当x∈(0, )时,f(x)< x3 .
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