已知圆直线
与圆
相切,且交椭圆
于
两点,
是椭圆的半焦距,
,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)O为坐标原点,若求椭圆
的方程;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设椭圆的左右顶点分别为A,B,动点
,直线AS,BS与直线
分别交于M,N两点,求线段MN的长度的最小值.
(Ⅰ);(Ⅱ)椭圆
的方程为
;(Ⅲ)
.
解析试题分析:(Ⅰ)直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径.设圆的圆心为半径分别为
,直线的方程为
.若直线与圆相切,则圆心到直线的距离
,将已知条件代入这个公式,即可得
的值.
(Ⅱ)将代入得:
得关于
的二次方程.设
则
是这个方程的两个根.因为,所以
,再结合韦达定理,可得一个含
的等式,与
联立解方程组即可求得
的值.
(Ⅲ)思路一、在(Ⅱ)的条件下,椭圆的方程为:,动点
,则将其代入椭圆方程,便得:
①.设
,
,则
.两式相乘再利用①式可消去
得
,再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值.
思路二、选定一个量作为变量,其余的量都用这个量来表示,最终用这个量表示出线段MN的长度.
那么选哪 一个量作为变量呢?显然直线AS的斜率存在,设为且
,然后用
表示出点
的坐标,从而表示出线段MN的长度.再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值.
试题解析:(Ⅰ)直线与圆
相切,所以
4分
(Ⅱ) 将代入得:
得:
①
设则
②
因为
由已知代人②
所以椭圆的方程为
8分
(Ⅲ)法一、在(Ⅱ)的条件下,椭圆的方程为:,将动点
的坐标代入椭圆方程,便得:
①
设,
,则
.两式相乘得
②
由①得:,代入②得:
,显然
异号.
所以线段MN的长度,当
时取等号.
法二、显然直线AS的斜率存在,设为且
则
依题意,由
得:
设则
即
,又B(2,0)所以
BS:
由
所以时:
&n
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角坐标系中,为坐标原点,如果一个椭圆经过点P(3,
),且以点F(2,0)为它的一个焦点.
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)在(1)中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.
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已知椭圆:
的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的直线
与椭圆
相交于
,
两点.点
,记直线
的斜率分别为
,当
最大时,求直线
的方程.
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已知定点F(2,0)和定直线,动圆P过定点F与定直线相切,记动圆圆心P的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程.
(2)若以M(2,3)为圆心的圆与抛物线交于A、B不同两点,且线段AB是此圆的直径时,求直线AB的方程
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
(
)的右焦点
,右顶点
,右准线
且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)动直线:
与椭圆
有且只有一个交点
,且与右准线相交于点
,试探究在平面直角坐标系内是否存在点
,使得以
为直径的圆恒过定点
?若存在,求出点
坐标;若不存在,说明理由.
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已知椭圆抛物线
的焦点均在
轴上,
的中心和
的顶点均为坐标原点
从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
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如图已知椭圆的中点在原点,焦点在x轴上,长轴是短轴的2倍且过点,平行于
的直线
在y轴的截距为
,且交椭圆与
两点,
(1)求椭圆的方程;(2)求的取值范围;(3)求证:直线
、
与x轴围成一个等腰三角形,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
抛物线M: 的准线过椭圆N:
的左焦点,以坐标原点为圆心,以t(t>0)为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的部分以及y轴的正半轴相交于点A与点B,直线AB与x轴相交于点C.
(1)求抛物线M的方程.
(2)设点A的横坐标为x1,点C的横坐标为x2,曲线M上点D的横坐标为x1+2,求直线CD的斜率.
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