Question

（2012•闸北区二模）如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2．
（1）求该正四棱锥的体积V；
（2）设E为侧棱PB的中点，求异面直线AE与PC所成角θ的大小．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得该四棱锥是侧棱等于底面边长的正四棱锥，由此不难求出它的高等于

2

，结合锥体体积公式，可得该正四棱锥的体积V；
（2）设F为BC中点，连接EF、AF，可得EF∥PC，所以异面直线AE与PC所成角θ等于AE、EC所成的锐角或直角．在△AEF中求出各边的长，利用余弦定理算出∠AEF的余弦值，即可得出直线AE与PC所成角θ的大小．

解答：解：（1）设O为底面正方形ABCD中心，则PO为该正四棱锥的高
正方形ABCD中，AO=

1

2

AC=

2

，
∴Rt△POA中，PO=

PA2-AO2

=

2

，…（4分）
所以正四棱锥的体积为：V=

1

3

×22×

2

=

4

3

2

． …（6分）
（2）设F为BC中点，连接EF、AF，
∵△PBC中，EF是中位线，∴EF∥PC
由此可得：异面直线AE与PC所成角θ等于AE、EC所成的锐角或直角…（8分）
等边三角形PAB中，边长为2，所以AE=

3

2

PA=

3

，
△PBC中，EF=

1

2

PC=1，
Rt△ABE中，AF=

22+12

=

5

，…（3分）∴△AEF中，cos∠AEF=

AE2+EF2-AF2

2AE•EF

=-

3

6

．…（10分）
所以，异面直线AE与PC所成角θ=arccos

3

6

．…（12分）

点评：本题给出底面边长等于侧棱长的正四棱锥，求四棱锥的体积并求异面直线所成的角，着重考查了异面直线及其所成的角、正棱锥的性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．