Question

过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点，设切线AP，AQ的斜率分别为k₁和k₂．
（1）求证：k₁k₂=-4；
（2）试问：直线PQ是否经过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设过A（a，0）与抛物线y=x²+1的相切的直线的斜率是k，则该切线的方程为：y=k（x-a）．由

y=k(x-a) y=x2+1

得x²-kx+（ka+1）=0，由此可知k₁k₂=-4．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，由此可知直线PQ的方程是y=2ax+2，直线PQ过定点（0，2）．

解答：解：（1）设过A（a，0）与抛物线y=x²+1的相切的直线的斜率是k，
则该切线的方程为：y=k（x-a）
由

y=k(x-a) y=x2+1

得x²-kx+（ka+1）=0∴△=k²-4（ka+1）=k₂-4ak-4=0
则k₁，k₂都是方程k²-4ak-4=0的解，故k₁k₂=-4
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
则-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）∴y₁=2x₁a+2，同理y₂=2x₂a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．注意设而不求方法的运用．