Question

10．已知函数f（x）=|x-t|+$\frac{t}{x}$（x＞0）；
（1）判断函数y=f（x）在区间（0，t]上的单调性，并证明；
（2）若函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）0＜x≤t，f（x）=t-x+$\frac{t}{x}$，求导数，利用导数小于0，可得结论；
（2）分类讨论，要使函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，则t≥$\sqrt{t}$，即可求实数t的取值范围．

解答 解：（1）0＜x≤t，f（x）=t-x+$\frac{t}{x}$，
∴f′（x）=-1-$\frac{t}{{x}^{2}}$＜0，
∴函数y=f（x）在区间（0，t]上单调递减；
（2）t≤0，f（x）=x+t+$\frac{t}{x}$，函数单调递增，无最小值，
t＞0时，x＞t，f（x）=x+$\frac{t}{x}$-t，要使函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，则t≥$\sqrt{t}$，
∴0＜t≤1，最小值为1．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．