Question

（2012•焦作模拟）下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（　　）

• A．f（x）=x|x|
• B．f（x）=-x³
• C．f（x）=sinx(x∈[0，

  π

  2

  ])
• D．f（x）=

  lnx

  x

Answer 1

分析：四个选项中都给出了具体的函数解析式，其中选项A是分段函数，可由f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）知函数为奇函数，在分析x＞0时函数的增减性，根据奇函数的对称性进一步得到函数在整个定义域内的增减性；
选项B举一反例即可；
C、D中的两个函数，定义域均不关于原点对称，都不是奇函数．

解答：解：由f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），知函数f（x）=x|x|为奇函数，又f（x）=x|x|=

x2   (x＞0) -x2  (x＜0)

当x＞0时，f（x）=x²在（0，∞）上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称，
所以当x＜0时，f（x）=-x²在（-∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）=x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A正确．
∵2＞1，而-2³＜-1³，所以函数f（x）=x³在定义域内不是增函数，故B不正确．
∵x∈[0，

π

2

]不关于原点对称，∴f（x）=sinx(x∈[0，

π

2

])在给定的定义域内不是奇函数，故C不正确．
∵f（x）=

lnx

x

的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，所以函数f（x）=

lnx

x

在定义域内不是奇函数，故D不正确．
故选A．

点评：怕断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，若对称，由f（-x）=-f（x）知函数为定义域上的奇函数，由f（-X）=f（x）知函数为定义域上的偶函数；若定义域不关于原点对称，在定义域内函数是非奇非偶的．有时也可以根据函数图象的特点分析，函数图象关于原点中心对称是函数为奇函数的充要条件，关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件．