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【题目】已知某几何体的三视图和直观图如图所示,其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(1)证明:平面BCN⊥平面C1NB1;

(2)求二面角C-NB1-C1的余弦值.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

(1)建立空间直角坐标系,根据坐标运算,求得直线与平面的垂直,进而判断平面与平面的垂直。

(2)根据空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,进而利用两个平面的法向量求出两个平面的二面角大小。

(1)证明∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,BA,BC,BB1两两垂直.

分别作为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

B(0,0,0),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4),=-16+16+0=0,=0,

NBNB1,NBB1C1.

NB1B1C1相交于B1,NB⊥平面C1NB1.

NB平面BCN.

∴平面BCN⊥平面C1NB1.

(2)解设n=(x,y,z)是平面NCB1的一个法向量,=(4,4,-4),=(4,-4,0),

x=1,n=(1,1,2).

(1)=(4,4,0)是平面C1B1N的一个法向量,

cos<n,>=.

故二面角C-NB1-C1的余弦值为.

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