【题目】已知某几何体的三视图和直观图如图所示,其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
(1)证明:平面BCN⊥平面C1NB1;
(2)求二面角C-NB1-C1的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,根据坐标运算,求得直线与平面的垂直,进而判断平面与平面的垂直。
(2)根据空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,进而利用两个平面的法向量求出两个平面的二面角大小。
(1)证明∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,∴BA,BC,BB1两两垂直.
以分别作为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4),=-16+16+0=0,=0,
∴NB⊥NB1,NB⊥B1C1.
又NB1与B1C1相交于B1,∴NB⊥平面C1NB1.
又NB平面BCN.
∴平面BCN⊥平面C1NB1.
(2)解设n=(x,y,z)是平面NCB1的一个法向量,=(4,4,-4),=(4,-4,0),
则
取x=1,得n=(1,1,2).
由(1)知=(4,4,0)是平面C1B1N的一个法向量,
cos<n,>=.
故二面角C-NB1-C1的余弦值为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=60°.
(1)求证:EF⊥PB.
(2)试问:当点E在线段AB上移动时,二面角PFCB的平面角的余弦值是否为定值?若是,求出其定值;若不是,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列关于概率和统计的几种说法:
①10名工人某天生产同一种零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则a,b,c的大小关系为c>a>b;
②样本4,2,1,0,-2的标准差是2;
③在面积为S的△ABC内任选一点P,则随机事件“△PBC的面积小于”的概率为;
④从写有0,1,2,…,9的十张卡片中,有放回地每次抽一张,连抽两次,则两张卡片上的数字各不相同的概率是.
其中正确说法的序号有________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 离心率为 ,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1 , 过点F2作直线PF2的垂线l2 .
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)若直线l1 , l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知a,b为异面直线,且所成的角为70°,过空间一点作直线l,直线l与a,b均异面,且所成的角均为50°,则满足条件的直线共有( ) 条
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分14分)
如图1,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.
(1) 证明:AD⊥平面PBC;
(2) 在∠ACB的平分线上确定一点Q,使得PQ∥平面ABD,并求此时PQ的长.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点,,动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设点为轨迹上异于原点的两点,且.
①若为常数,求证:直线过定点;
②求轨迹上任意一点到①中的点距离的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列五个命题:
①当时,有;
②若是锐角三角形,则;
③已知是等差数列的前项和,若,则;
④函数与的图像关于直线对称;
⑤当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为.
其中正确命题的序号为___________.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com