Question

已知函数f(x)=;
(1)求y=f(x)在点P（0,1）处的切线方程；
（2）设g(x)=f(x)+x－1仅有一个零点，求实数m的值；
（3）试探究函数f(x)是否存在单调递减区间？若有，设其单调区间为[t,s],试求s－t的取值范围？若没有，请说明理由。

Answer 1

（1）∵点P在函数y=f(x)上，由f(x)=得： 故切线方程为：y=－x+1
(2)由g(x)=f(x)+x－1＝可知：定义域为，且g（0）=0,显然x=0为y=g(x)的一个零点；
则
①当m=1时，，即函数y=g(x)在上单调递增，g(0)=0,故仅有一个零点，满足题意。
②当m>1时，则，列表分析：

x				0
	+	0	－	0	＋
g(x)	[	极大值		极小值 0

又∵x→－1时，g(x)→－，∴g(x)在上有一根，这与y=g(x)仅有一根矛盾，
故此种情况不符题意。
（3）假设y=f（x）存在单调区间，由f(x)=得：，
令∵，h(－1)＝m+2－m－1＝1＞0，∴h(x)=0在上一定存在两个不同的实数根s,t,………12分
即, 的解集为（t,s）,即函数f(x)存在单调区间[t,s],则s－t=,由m≥1可得：s－t

略