Question

（1）若a＜0，讨论函数f（x）=x+

a

x

，在其定义域上的单调性；
（2）若a＞0，判断并证明f（x）=x+

a

x

在（0，

a

]上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由复合函数的单调性质即可判定；
（2）设0＜x₁＜x₂≤

a

，则因为f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

a

x1x2

）＞0，故f（x）在（0，

a

]上单调减．

解答： 解：（1）∵a＜0，∴y=

a

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，
又y=x为增函数，
∴f（x）=x+

a

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上都是增函数．
（2）f（x）=x+

a

x

在（0，

a

]上单调减，
设0＜x₁＜x₂≤

a

，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

a

x1

）-（x₂+

a

x2

）=（x₁-x₂）+

a(x2-x1)

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

a

x1x2

）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，

a

]上单调减．

点评：本题主要考察函数单调性的判断与证明，属于基础题．