Question

（中线性运算）在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A、B、C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得

OC

=λ•

OA

+(1-λ)•

OB

成立，此时称实数λ为“向量

OC

关于

OA

和

OB

的终点共线分解系数”．若已知P₁（3，1）、P₂（-1，3），且向量

OP3

与向量

a

=（1，1）垂直，则“向量

OP3

关于

OP1

和

OP2

的终点共线分解系数”为（　　）

• A、-3
• B、3
• C、1
• D、-1

Answer 1

分析：由向量

OP3

与向量

a

=（1，1）垂直，则由两向量垂直数量积为零，我们可设出向量

OP3

的坐标，然后根据

OP3

=λ•

OP1

+(1-λ)•

OP2

，易P₁（3，1）、P₂（-1，3）的坐标，我们可以构造一个关于λ的方程组，解方程组即可求出λ的值．

解答：解：由

OP3

与向量

a

=（1，1）垂直，
可设

OP3

=(t，-t)(t≠0)，
由

OP3

=λ•

OP1

+(1-λ)•

OP2

得（t，-t）=λ（3，1）+（1-λ）（-1，3）
=（4λ-1，3-2λ），
∴

4λ-1=t 3-2λ=-t

，
两式相加得2λ+2=0，
∴λ=-1．
故选D

点评：若A、B、P三点共线，O为直线外一点，则

OP

=λ

OA

→+μ

OB

→，且λ+μ=1，反之也成立，这是三点共线在向量中最常用的证明方法和性质，大家一定要熟练掌握．