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对于集合M={1,2,3…,2n,…},若集合A={a1,a2,…,an,…},B={b1,b2,…,bn,…},n∈N*,满足A∪B=M.
(1)若数列{an}的通项公式是,求等差数列{bn}的通项公式;
(2)若M为2n元集合,A∩B=∅且,则称A∪B是集合M的一种“等和划分”(A∪B与B∪A算是同一种划分).
已知集合M={1,2,…,12}
①若12∈A,集合A中有五个奇数,试确定集合A;
②试确定集合M共有多少种等和划分?
【答案】分析:(1)利用an=2n-1,可得A={1,2,4,8,…},从而3,5,6,7∈B,由此可求等差数列{bn}的通项公式;
(2)①因为12∈A,由于当集合A确定后,集合B便是唯一确定的,故只须考虑集合A的个数,确定集合A={a1,a2,…,a6},a6为最大数,A1={ a1,a2,…,a5 }中有奇数个奇数,由此可结论;
②由①可知,若A1 中有五个奇数,得到唯一的A={1,3,5,7,11,12},再考虑A1 中有三个奇数、两个偶数,用p表示A1中这两个偶数,x1,x2 之和,q表示A1中这三个奇数y1,y2,y3 之和,则p≥6,q≥18.于是,q≤21,p≤18.共得A1的24种情形;
(3)若A1中有一个奇数、四个奇数,由于M中除12外,其余的五个偶数之和为2+4+6+8+10=30,从中去掉一个偶数,补加一个奇数,使A1中五个数之和为27,可以得到A1的4种情形,从而可得结论.
解答:解:(1)∵an=2n-1,∴A={1,2,4,8,…}
∴3,5,6,7∈B,∴bn的公差d=1                                …(2分)
若b1=3,则bn=3+n-1=n+2
若b2=3,则b1=2,则bn=2+n-1=n+1
若b3=3,则bn=n                                              …(5分)
(2)①因为12∈A,由于当集合A确定后,集合B便是唯一确定的,故只须考虑集合A的个数
设集合A={a1,a2,…,a6},a6为最大数,由1+2+…+12=78,知a1+a2+…+a6=39,a6=12,
于是a1+a2+…+a5=27,故A1={ a1,a2,…,a5}中有奇数个奇数.
A1 中有五个奇数,因M中的六个奇数之和为36,而27=36-9,所以,A1={1,3,5,7,11}.
此时,得到唯一的A={1,3,5,7,11,12}.…(8分)
②由①可知,若A1 中有五个奇数,得到唯一的A={1,3,5,7,11,12}
若A1 中有三个奇数、两个偶数,用p表示A1中这两个偶数,x1,x2 之和,q表示A1中这三个奇数y1,y2,y3 之和,则p≥6,q≥18.于是,q≤21,p≤18.共得A1的24种情形.…(10分)
①当p=6,q=21时,( x1,x2)=(2,4),(y1,y2,y3)=(1,9,11),(3,7,11),(5,7,9)可搭配成A1的3种情形;
②当p=8,q=19时,( x1,x2)=(2,6),(y1,y2,y3)=(1,7,11),(3,5,11),(5,7,9)可搭配成A1的3种情形;
③p=10,q=17时,( x1,x2)=(2,8),(4,6)(y1,y2,y3)=(1,5,11),(1,7,9),(3,5,9),可搭配成A1的3种情形;
④p=12,q=15时,( x1,x2)=(2,10),(4,8),(y1,y2,y3)=(1,3,11),(1,5,9),(3,5,7),可搭配成A1的6种情形;
⑤当p=14,q=13时,( x1,x2)=(4,10),(6,8),(y1,y2,y3)=(1,3,9),(1,5,7),可搭配成A1的4种情形;
⑥当p=16,q=11时,( x1,x2)=(6,10),(y1,y2,y3)=(1,3,7)可搭配成A1的1种情形;
⑦当p=18,q=9时,( x1,x2)=(8,10),(y1,y2,y3)=(1,3,5),可搭配成A1的1种情形;
(3)若A1中有一个奇数、四个奇数,由于M中除12外,其余的五个偶数之和为2+4+6+8+10=30,从中去掉一个偶数,补加一个奇数,使A1中五个数之和为27,分别得到A1的4种情形(7,2,4,6,8),(5,2,4,6,10),(3,2,4,8,10),(1,2,6,8,10)…(14分)
综上,集合A有1+24+4=29种情形,即M有29种等和划分.…(16分)
点评:本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,正确理解与运用新定义是关键,属于难题.
练习册系列答案
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设集合M={1,2,3,4,5,6},对于ai,bi∈M,记ei=
ai
bi
且ai<bi,由所有ei组成的集合设为:A={e1,e2,…,ek},则k的值为
 
;设集合B={ ei|ei=
1
ei
ei∈A}
,对任意ei∈A,e′j∈B,则ei+e′∈M的概率为
 

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设集合M={1,2,3,4,5,6},对于ai,bi∈M(i=1,2,…6),记ei=
ai
bi
,且ai<bi,由所有ei组成的集合记为A,设集合B={ei′|ei′=
1
ei
,ei∈A}(i=1,2,…,6},从集合A,B中各取一个元素,则两元素和为整数的概率为
 

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(1)若数列{an}的通项公式是an=2n-1,求等差数列{bn}的通项公式;
(2)若M为2n元集合,A∩B=∅且
n
k=1
an=
n
k=1
bn
,则称A∪B是集合M的一种“等和划分”(A∪B与B∪A算是同一种划分).
已知集合M={1,2,…,12}
①若12∈A,集合A中有五个奇数,试确定集合A;
②试确定集合M共有多少种等和划分?

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设集合M={1,2,3,4,5,6},对于aibi∈M(i=1,2,…6),记ei=
ai
bi
,且aibi,由所有ei
组成的集合记为A,设集合B={ei|ei=
1
ei
ei∈A
(i=1,2,…,6)},从集合A,B中各取一个元素,则两元素和为整数的概率为
6
121
6
121

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