Question

函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），且f（1）=0，
（1）求f（0）；
（2）求函数解析式；
（3）当x∈[-2，2]时，f（x）-ax不是单调函数，
①求a的取值范围；
②记f（x）-ax的最小值为g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）令x=-1，y=1，利用f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），即可求得f（0）的值；
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1），结合f（0）=-2，可求f（x）的解析式；
（3）由（2）可得f（x）-ax的解析式，结合x∈[-2，2]时，f（x）-ax不是单调函数，可得函数图象的对称轴位于开区间（-2，2）上，由此构造不等式，可解得a的取值范围，进而结合二次函数的图象和性质，求出函数的最小值g（a）的表达式，得到答案．

解答：解：（1）令x=-1，y=1，则
∵f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）
∴f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
∴f（0）=-2
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2
∴f（x）=x²+x-2
（3）①∵f（x）-ax=x²+（1-a）x-2
且x∈[-2，2]时，f（x）-ax不是单调函数
∴-2＜

a-1

2

＜2
解得：-3＜a＜5
②∵f（x）-ax的最小值为g（a），
∴g（a）=

4×1×(-2)-(1-a)2

4

=-

1

4

（a-1）²-2，
由①中-3＜a＜5可得
当a=1时g（a）取最大值-2

点评：本题以抽象函数为载体，考查赋值法的运用，考查恒成立问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质