在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
(Ⅰ)求曲线C1的方程;
(Ⅱ)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.
(1)
(2)当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400
【解析】(Ⅰ)解法1 :设M的坐标为,由已知得,
易知圆上的点位于直线的右侧.于是,所以.
化简得曲线的方程为.
解法2 :由题设知,曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离,因此,曲线是以为焦点,直线为准线的抛物线,故其方程为.
(Ⅱ)当点P在直线上运动时,P的坐标为,又,则过P且与圆
相切得直线的斜率存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为.于是
整理得 ①
设过P所作的两条切线的斜率分别为,则是方程①的两个实根,故 ②
由得 ③
设四点A,B,C,D的纵坐标分别为,则是方程③的两个实根,所以 ④
同理可得 ⑤
于是由②,④,⑤三式得
.
所以,当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400.
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切线方程,把直线与曲线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值,体现“设而不求”思想.
科目:高中数学 来源: 题型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
5 |
3 |
MN |
MF1 |
MF2 |
OA |
OB |
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科目:高中数学 来源: 题型:
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