Question

（2013•怀化三模）已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈N^*，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a₁，a₂，…a_n）∈S_n，B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，A与B之间的距离为d（A，B）=

n

i=1

|ai-bi|．
（1）当n=5时，设A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，则a5

=1或5

；
（2）记I=（1，1，…，1）∈s_n．若A、B∈S_n，且d（I，A）=d（I，B）=P，则d（A，B）的最大值为

2P

．

Answer 1

分析：（1）直接利用新定义运算，结合d（A，B）=7把A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）代入
d（A，B）=

n

i=1

|ai-bi|求解a₅的值；
（2）由d（I，A）=d（I，B）=P，得到|a₁-1|+|a₂-1|+|a₃-1|+…+|a_n-1|=P，
|b₁-1|+|b₂-1|+|b₃-1|+…+|b_n-1|=P．然后把d（A，B）=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+…+|a_n-b_n|利用绝对值不等式放缩得答案．

解答：解：（1）A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．
由d（A，B）=

n

i=1

|ai-bi|=7，
得d（A，B）=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|a₅-3|=5+|a₅-3|=7．
∴|a₅-3|=2，
解得：a₅=1或a₅=5；
（2）∵I=（1，1，…，1），A=（a₁，a₂，…a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），
由d（I，A）=d（I，B）=P，
得|a₁-1|+|a₂-1|+|a₃-1|+…+|a_n-1|=P，
|b₁-1|+|b₂-1|+|b₃-1|+…+|b_n-1|=P．
∴d（A，B）=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+…+|a_n-b_n|
=|（a₁-1）-（b₁-1）|+|（a₂-1）-（b₂-1）|+|（a₃-1）-（b₃-1）|+…+|（a_n-1）-（b_n-1）|
≤|a₁-1|+|b₁-1|+|a₂-1|+|b₂-1|+…+|a_n-1|+|b_n-1|=2P．
故答案为：（1）1或5；（2）2P．

点评：本题是新定义题，考查了两点间的距离公式，训练了绝对值不等式的应用，解答的关键是对题意的理解，是中档题．