Question

下列说法中正确的是

①②④

．
①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．

Answer 1

分析：根据线面平行的性质定理，可得①正确；根据线面平行的定义，可得②正确；根据线面平行的性质定理与判定定理加以证明，可得③不正确；根据线面平行的性质定理和平行公理加以证明，可得④正确．由此可得本题答案．

解答：解：对于①，若直线l与平面α平行，经过l作平面β
设α、β的交线为m，根据线面平行性质定理，可得l∥m
因为这样的平面β有无数个，所以满足条件的m也有无数条，故①正确；
对于②，根据直线与平面平行的定义，可得直线与平面没有公共点
因此平面内任意一条直线都与已知直线没有公共点，故②正确；
对于③，若点A为直线l外一点，则过A作直线m使m∥l
这样的直线m有且只有一条，
但经过m的平面α如果满足l?α，则有l∥α，
α为经过点A与l平行的平面，这样的平面有无数多个，故③不正确；
对于④，如果直线l和平面α平行，在α内取一点A，过A作直线m，使m∥l，
经过l与点A的平面β，β∩α=m'，则m'∥l，可得经过点A有两条直线与直线l平行
与平行公理矛盾，得过平面α内一点和直线l平行的直线在α内
故④正确
故答案为：①②④

点评：本题给出空间线面平行的4个命题，要求找出其中的真命题．着重考查了线面平行的定义、判定定理的性质定理等知识，属于中档题．