Question

已知f（x）为一次函数，f[f（1）]=-1，f（x）的图象关于直线x-y=0的对称的图象为C，若点(n，

an+1

an

) (n∈N*)在曲线C上，并有a₁=1，

an+1

an

-

an

an-1

=1 (n≥2)．
（1 ） 求f（x）的解析式及曲线C的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设Sn=

a1

3!

+

a2

4!

+

a3

5!

+…+

an

(n+2)!

，对于一切n∈N^*，都有S_n＞m成立，求自然数m的最大值．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），所以f[f（1）]=k²+kb+b=-1．因为f（x）的图象关于直线x-y=0的对称为C，所以曲线C为：f^-1（x）=

x

k

-

b

k

，故f^-1（n）-f^-1（n-1）=

1

k

．由此能够推导出f（x）的解析式及曲线C的方程．
（2）由f^-1（n）=

an+1

an

，知

an+1

an

=n+1，由此能够求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由

an

(n+2)!

=

n!

(n+2)!

=

1

(n+2)(n+1)

=

1

n+1

-

1

n+2

，知S_n=

a1!

3!

+

a2!

4!

+

a3!

5!

+…+

an!

(n+2)!

=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

2

-

1

n+2

．由此能够求出自然数m的最大值0．

解答：解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），
∴f[f（1）]=k²+kb+b=-1．①
因为f（x）的图象关于直线x-y=0的对称为C，
∴曲线C为：f^-1（x）=

x

k

-

b

k

，
∴f^-1（n）=

n

k

-

b

k

，
f^-1（n-1）=

n-1

k

-

b

k

，
f^-1（n）-f^-1（n-1）=

1

k

．
又点（n，

an+1

an

）（n∈N^*）在曲线C上，
∴f^-1（n）=

an+1

an

②
f^-1（n-1）=

an

an-1

，
∴f^-1（n）-f^-1（n-1）=

an+1

an

-

an

an-1

=1，
∴k=1，b=-1．
∴f（x）=x-1，
曲线C：y=x+1
（2）由②f^-1（n）=

an+1

an

，
∴

an+1

an

=n+1，
∴

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

=n（n-1）…3•2=n!
∵a₁=1，
∴a_n=n!
（3）∵

an

(n+2)!

=

n!

(n+2)!

=

1

(n+2)(n+1)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴S_n=

a1!

3!

+

a2!

4!

+

a3!

5!

+…+

an!

(n+2)!

=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

2

-

1

n+2

∵0＜

1

n+2

≤

1

3

，

1

6

≤

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

，
∴S_n的最小值为

1

6

．
∴m＜

1

6

，因而自然数m的最大值是0．

点评：本题考查数列与函数据综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．