Question

已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱长均为2，G为AF的中点．
（Ⅰ）求证：F₁G∥平面BB₁E₁E；
（Ⅱ）求证：平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁；
（Ⅲ）求异面直线EG与F₁A所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用平面AA1F₁F与平面BB₁E₁E平行，来证明直线F₁G∥平面BB₁E₁E即可．
（Ⅱ）先由AE⊥ED以及E₁E⊥AE⇒AE⊥平面DD₁E₁E，就可得平面F₁AE⊥平面DD₁E₁E．
（Ⅲ）利用底面ABCDEF是正六边形得EF⊥BF．建立如下图所示的空间直角坐标系，求出对应点的坐标以及和的坐标即可求出异面直线EG与F₁A所成角的余弦值．
解答：证明：（Ⅰ）因为AF∥BE，AF?平面BB₁E₁E，
所以AF∥平面BB₁E₁E，
同理可证，AA₁∥平面BB₁E₁E，
所以，平面AA1F₁F∥平面BB₁E₁E
又F₁G?平面AA1F₁F，所以F₁G∥平面BB₁E₁E
（Ⅱ）因为底面ABCDEF是正六边形，所以AE⊥ED，
又E₁E⊥底面ABCDEF，所以E₁E⊥AE，
因为E₁E∩ED=E，所以AE⊥平面DD₁E₁E，
又AE?平面F₁AE，所以平面F₁AE⊥平面DD₁E₁E
（Ⅲ）由于底面ABCDEF是正六边形，
所以EF⊥BF．如图，
建立如图所示的空间直角坐标系．则
E（0，2，0），G（，-，0），F₁（0，0，2），A（，-1，0）．
则=（，-，0），=（，-1，-2），
从而两异面直线EG与F₁A所成角的余弦值为
cosθ===
点评：本题综合考查了面面垂直的判定以及线面平行的判定和异面直线所成角的三角函数值的求法，是对立体几何知识的综合考查．在证明线面平行时，一般转化为线线平行或面面平行来证．