Question

20．已知函数f（x）=|x+2|+|x-4|．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若{x|f（x）≤t²-t}∩{x|-3≤x≤5}≠∅．求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）=|x+2|+|x-4|的最小值．
（2）问题转f（x）_min≤t²-t在[-3，5]成立，求出f（x）的最小值，解出t即可

解答 解：（1）函数f（x）=|x+2|+|x-4|≥|（x+2）-（x-4）|=6，
所以函数f（x）的最小值为6．…（5分）
（2）使{x|f（x）≤t²-t}∩{x|-3≤x≤5}≠∅，
知存在x₀∈[-3，5]使得f（x₀）≤t²-t成立，
即f（x）_min≤t²-t在[-3，5]成立，
∵函数f（x）在[-3，5]的最小值为6，
∴t²-t≥6，解得：t≤-2或t≥3． …（10分）

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．