Question

11．已知函数f（x）=x²+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）-2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围；
（Ⅲ）求证：不等式f（c²+1）＞f（c）对任意c∈R成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函数f（x）=x²+bx+c，其对称轴为y轴，则$-\frac{b}{2}$=0，解得b值；
（Ⅱ）由（I）得g（x）=f（x）-2=x²+c-2，若函数g（x）有两个不同的零点，则△=-4（c-2）＞0，解得c的范围；
（Ⅲ）函数f（x）=x²+c的开口朝上，证得|c²+1|²-|c|²＞0恒成立，可得不等式f（c²+1）＞f（c）对任意c∈R成立．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²+bx+c，其对称轴为y轴，
∴$-\frac{b}{2}$=0，
解得：b=0；
（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x²+c，
则g（x）=f（x）-2=x²+c-2，
若函数g（x）有两个不同的零点，
则△=-4（c-2）＞0，
解得：c＜2；
（Ⅲ）证明：函数f（x）=x²+c的开口朝上，
∵|c²+1|²-|c|²=c⁴+c²+1=（c²+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0恒成立，
故|c²+1|＞|c|，
故不等式f（c²+1）＞f（c）对任意c∈R成立．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．