Question

已知向量

a

=（ 

3

，1），向量

b

=（sin2x，cos2x），函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的表达式，并作出函数y=f（x）在一个周期内的简图（用五点法列表描点）；
（2）求函数y=f（x）的周期，并写单调区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由平面向量的数量积公式和两角和的正弦公式，即可得到f（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），运用五点法，即可得到在一个周期内的简图；
（2）由周期公式得到周期；由正弦函数的单调区间，即可得到f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）由于向量

a

=（ 

3

，1），向量

b

=（sin2x，cos2x），函数f（x）=

a

•

b

．
则有f（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
函数的周期为T=

2π

2

=π，先用“五点法”作出一个周期的图象，列表：

x	- π 12	π 6	5π 12	8π 12	11π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
2sin（2x+ π 6 ）	0	2	0	-2	0

描点得整个图象，如右．
（2）函数y=f（x）的周期为π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

；
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

π

6

≤x≤
kπ+

3π

4

，
则单调增区间[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k为整数）；
单调减区间[kπ+

π

6

，kπ+

3π

4

]（k为整数）．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的周期性和单调性，同时考查平面向量的数量积的坐标公式，考查运算能力，属于中档题．